La simulation multiphysique intègre les couplages

Le monde regorge de défis technologiques. Cœur artificiel, voiture électrique, dispositifs connectés en sont quelques exemples. Idéalement, la conception, la fabrication et l’utilisation de ces systèmes sont d’abord testées virtuellement. Et ce de la façon la plus large possible via la simulation numérique, en amont et en aval d’étapes restreintes de prototypage et de tests réels. L’objectif est de réduire le nombre de prototypes et d’expériences à réaliser lors de la conception, de l’optimisation ou du contrôle d’un dispositif ou d’un processus. Et ainsi de valider performances, fiabilité et sécurité des produits finaux. Si une simulation ne prend qu’une seule physique en compte, par exemple la conduction électrique dans un conducteur, il s’agit d’une simulation monophysique. Si elle intègre plusieurs physiques, en ajoutant par exemple l’échauffement par effet joule et la conduction de la chaleur dans le conducteur précité, on bascule dans la simulation dite multiphysique, qui prend en compte le couplage entre les deux physiques : la conductivité électrique du conducteur dépend de la température, qui dépend en retour de l’intensité du courant électrique.

L’importance de la simulation multiphysique est donc évidente : le monde est multiphysique par nature. Prenons l’exemple d’un smartphone. L’antenne reçoit et émet les signaux électromagnétiques, l’écran tactile ou les touches sont des composants mécaniques et électriques qui interagissent les uns avec les autres, le microphone et le haut-parleur permettent de parler et d’écouter, la batterie implique des réactions électrochimiques, des déplacements d’ions... Le point important est que la modification de l’un de ces composants va agir sur les autres. Soit parce que les phénomènes physiques associés sont intrinsèquement couplés, soit parce que la miniaturisation et l’intégration de tous ces composants renforcent l’interdépendance et impose de considérer ces couplages. Au final, la simulation multiphysique permet de préciser quantitativement et qualitativement les points clés d’un système. Reste à savoir comment la mettre en œuvre. 

1. Du modèle mathématique au modèle numérique

À la base de toutes les simulations numériques se trouvent les lois de la physique exprimées dans des modèles mathématiques. Différentes lois de conservation modélisent par exemple les écoulements, le transport d’espèces chimiques ou la mécanique des solides. D’autres lois décrivent l’électromagnétisme. Ces lois expriment la variation dans l’espace et le temps de grandeurs physiques (vitesse, pression, température, contraintes, champ électrique...), permettant de caractériser le comportement et l’évolution d’un phénomène donné.

La description des lois de la physique pour les problèmes dépendant de l’espace et du temps est généralement exprimée en termes d’équations aux dérivées partielles (EDP). Pour l’extrême majorité des géométries et des problèmes, ces EDP ne peuvent pas être résolues par des méthodes analytiques. On fait alors appel à des méthodes numériques, permettant d’obtenir une approximation de la solution de ces équations. Une étape intermédiaire est souvent indispensable, afin de convertir les EDP en équations algébriques ou en équations différentielles ordinaires pouvant être résolues à l’aide de méthodes numériques.

Le modèle mathématique d’un système consiste typiquement en une ou plusieurs EDP qui décrivent les lois physiques applicables sur une géométrie donnée, complétées de conditions aux limites et initiales. Les conditions aux limites sont définies sur les frontières du domaine modélisé et imposent des conditions supplémentaires sur la solution. Les conditions initiales définissent l’état du système au début du calcul.

D’un point de vue physique, les conditions aux limites sont par exemple des chargements et des contraintes pour la mécanique des structures, des niveaux de pression aux entrées et aux sorties pour l’écoulement des fluides ou le potentiel électrique des bornes en électrostatique. D’un point de vue mathématique, les conditions aux limites et les conditions initiales permettent d’identifier une solution unique parmi une infinité d’alternatives. La plupart des méthodes numériques requièrent la discrétisation du domaine modélisé sous forme de maillage. Cette discrétisation revient à décomposer la géométrie en un ensemble d’éléments de forme simple (tétraèdre, hexaèdre...). Ces éléments servent de base à de nombreuses méthodes numériques comme les méthodes des différences finies, des volumes finis et des éléments finis. Au final, la discrétisation d’un modèle mathématique fournit un modèle numérique pour le système décrit. Ce dernier est une approximation, et la qualité de cette approximation peut être quantifiée par un estimateur d’erreur. Si le modèle numérique est cohérent, cet estimateur d’erreur tend vers zéro, à mesure que la taille des éléments utilisés pour sa discrétisation diminue.

2. La méthode des éléments finis pour approcher la solution d’une EDP

La méthode des éléments finis (ou finite element method, FEM) permet d’obtenir une approximation de la solution d’une EDP. Elle a été initialement développée en mécanique des structures avant d’être élargie aux autres domaines de la physique. La FEM repose sur la discrétisation spatiale du domaine considéré par son maillage – ou pavage – en éléments de formes simples, dits finis, au sein desquels la solution de l’EDP peut être raisonnablement approchée par une combinaison linéaire de fonctions d’interpolation. Le résultat de la discrétisation est qu’une EDP linéaire stationnaire que l’on cherche à résoudre est transformée en un système matriciel du type K U = B, où K est la matrice de raideur, U le vecteur inconnu et B le vecteur de chargement. Raideur et chargement font référence à la mécanique des structures, domaine initial d’application de la méthode. Trouver une approximation de la solution de l’EDP revient alors à résoudre le problème numérique par des méthodes de résolution de système matriciel. Un autre avantage de la méthode des éléments finis est que la théorie est bien développée et fournit des estimateurs d’erreur utiles, ou des bornes d’erreur, lorsque les équations du modèle numérique sont résolues sur un ordinateur.

La figure 1 illustre cette approximation uh de la fonction solution u sous la forme d’une combinaison linéaire d’un ensemble de fonctions dites de base ou d’interpolation ?i pondérées par des coefficients ui. Le problème considéré est à une dimension. La variable u représente par exemple la température le long de la longueur (x) d’une tige, chauffée de manière non homogène. Ici, les fonctions de base linéaires ont une valeur de 1 à leurs nœuds respectifs et 0 aux autres nœuds. Dans ce cas, il y a sept éléments le long de la portion de l’axe x, où la fonction u est définie (c’est-à-dire la longueur de la tige). En d’autres termes, la géométrie initiale (le barreau) vient d’être discrétisée et l’équation associée également. L’un des avantages de la méthode des éléments finis est qu’elle offre une grande liberté dans le choix de la discrétisation, tant au niveau des éléments qui peuvent être utilisés pour discrétiser l’espace que des fonctions de base. Les éléments peuvent être uniformément répartis sur l’axe des x, mais ce n’est pas forcément le cas. Des éléments plus petits peuvent être appliqués dans une région où le gradient de u est important.

3. Simulation monophysique dans un exemple simple : résolution matricielle

Appliquons la méthode des éléments finis sur un exemple simple : un conducteur parcouru par un courant électrique constant (fig. 2). Simplifions encore les choses en ne considérant qu’une seule physique : la conduction électrique, modélisée par une équation de conservation du courant électrique, dite équation de Laplace, faisant intervenir le potentiel électrique V. L’opposé du gradient spatial de V multiplié par la conductivité électrique du matériau conducteur correspond au courant électrique. Toutes les propriétés étant considérées comme constantes, ce problème est linéaire et stationnaire. Les valeurs de V dans le conducteur sont la solution recherchée.

Nous avons vu que la méthode des éléments finis fournit alors un système d’équations (linéaires ici), qui conduit à un système matriciel qui doit être résolu pour aboutir à la solution. Voyons plus en détail cette étape. Il existe principalement deux classes d’algorithmes ou solveurs pour résoudre ce type de système. Ces informations sont utiles pour comprendre à la fois le fonctionnement interne du solveur et comment les besoins en mémoire vive du calcul augmentent avec la taille du problème. Du point de vue du résultat, il importe peu de savoir lequel de ces solveurs vous choisissez, car ils aboutiront à la même solution.

Les solveurs directs manipulent la matrice de raideur avec des méthodes reposant sur une factorisation LU de la matrice par exemple. Une limite de ces solveurs directs est donc la taille de la matrice de raideur ou nombre de degrés de liberté du modèle, dictant la taille de la mémoire vive correspondante pour stocker tous les coefficients associés.

Les solveurs itératifs approchent la solution progressivement plutôt qu’en une seule grande étape de calcul. Par conséquent, lorsque vous résolvez un problème avec un solveur itératif, vous observez que l’estimation de l’erreur de la solution diminue avec le nombre d’itérations. Un avantage de ces solveurs est qu’ils nécessitent moins de mémoire vive que les solveurs directs.

Notons aussi que les matrices que l’on considère comportent souvent beaucoup de zéros au-delà d’une certaine distance de la diagonale principale de par leur construction. Les solveurs directs et itératifs évoqués ci-dessus s’efforcent de réduire la mémoire vive nécessaire pour stocker les coefficients de ces matrices, dites creuses, en ne considérant que les coefficients non nuls. Éventuellement, le système d’équations peut être non linéaire : par exemple, lorsque les propriétés des matériaux dépendent de la solution. Un algorithme classique pour résoudre les problèmes non linéaires, c’est la méthode de Newton. Le système est linéarisé autour d’une solution initiale, et ce dernier est résolu comme vu précédemment. Puis la solution obtenue sert à calculer un nouveau point de départ pour l’étape suivante de linéarisation. Un certain nombre d’itérations permettent la convergence vers la solution recherchée.

4. Passage à la simulation multiphysique : résolution ségrégée ou séquentielle

Notre exemple de conducteur parcouru par un courant n’est pas un système monophysique. Il est aussi le lieu de phénomènes thermiques que l’on peut vouloir simuler. Et même si l’on ne s’intéresse qu’à l’aspect électrique, la conductivité électrique du matériau dépendant de la température, les phénomènes thermiques sont couplés à la conduction électrique, et ce d’autant plus étroitement que le passage du courant génère de la chaleur dans le conducteur par effet joule. Une simulation multiphysique est donc nécessaire pour obtenir une meilleure description du conducteur (fig. 3).

Historiquement, un solveur spécifique était développé pour résoudre l’EDP associée à une physique spécifique. Quand la question de la multiphysique s’est imposée, une première solution a consisté à effectuer un couplage entre les solveurs existants. En réalité, le plus souvent entre les codes existants, car un solveur vient rarement seul pour gérer les entrées et sorties d’un modèle. La résolution est dite séquentielle quand on résout les différentes physiques les unes après les autres. Cette approche est notamment pertinente quand le couplage intervient dans un seul sens entre deux physiques concernées. Autrement dit, une des physiques dépend de l’autre mais la réciproque n’est pas vraie. Une version de résolution plus évoluée est dite ségrégée. Elle consiste à résoudre séquentiellement les différentes physiques couplées, en relançant cette séquence de résolution, jusqu’à convergence vers la solution. Cela revient à résoudre à chaque étape une des grandeurs physiques inconnues, figeant pour cette étape les autres grandeurs physiques aux dernières valeurs calculées.

Dans certains cas, la robustesse demandée au calcul nécessite une résolution simultanée des différentes physiques (fig. 4). Le couplage de codes existant n’est plus une solution. Il faut écrire un solveur et un code spécifique capable de résoudre simultanément les physiques et le(s) couplage(s) concerné(s). Cela peut être fait pour un ensemble prédéfini de physiques et de couplages, le programme informatique qui en résulte étant alors limité à l’étude des phénomènes en question.

Afin de contourner cette limitation, et permettre la résolution d’un large spectre de phénomènes physiques sans restreindre les couplages à un ensemble de cas prédéfinis, l’approche proposée par l’éditeur Comsol consiste à construire le modèle numérique correspondant à l’approximation des EDP juste avant le lancement du solveur. Le système matriciel ainsi obtenu tient alors compte de l’ensemble des équations, couplages et éventuelles non-linéarités en jeu.

Reprenons la conservation du courant électrique dans un conducteur en allant plus loin dans les couplages. Les deux physiques qui interviennent, le transport de courant électrique et le transfert de chaleur, sont couplées dans les deux sens. Au passage, notons que ce couplage est dans notre exemple non linéaire car la dissipation thermique dépend du gradient du potentiel électrique élevé au carré. Effectuons tout d’abord une résolution simultanée de nos deux physiques. Nous allons donc bâtir un vecteur inconnu dont les composantes comprennent le potentiel électrique et la température. La matrice de raideur associée intègre les deux équations avec les termes de couplage. Le vecteur de chargement comprend le terme source thermique résultant de l’effet Joule dans le matériau. Les conditions aux limites de notre exemple ici ne contribuent pas au vecteur de chargement. Les conditions aux limites qui, dans le cas général peuvent y contribuer, sont englobées de toute manière par l’expression « sources électriques et thermiques ». La résolution est effectuée par l’application d’une méthode de Newton ou un équivalent et les solveurs linéaires associés. Cette approche est robuste, ce qui est recherché quand les couplages sont de forte amplitude. Une conséquence est que l’ensemble des degrés de liberté du modèle est pris en compte simultanément, et que la mémoire vive requise pour le calcul peut augmenter, d’autant que la structure de la matrice de raideur impose parfois d’utiliser des solveurs directs, et non itératifs.

Une autre approche de résolution dite ségrégée de ce modèle multiphysique couplé est de procéder par étapes en résolvant d’abord une physique, par exemple le transport de courant électrique, puis le transfert de chaleur. Dans la seconde étape, il suffit de préciser dans l’équation de la chaleur les valeurs de source thermique obtenues dans la première étape. On procède ainsi par résolution itérative des deux équations jusqu’à converger vers une solution. À chaque stade, on appliquera une méthode de Newton ou équivalent si nécessaire (non-linéarité) et les solveurs linéaires associés. Un avantage est de n’utiliser qu’une matrice de taille réduite à chaque étape (une sous-matrice de la matrice globale), et donc moins de mémoire vive que pour le modèle couplé simultanément. Un autre est de pouvoir utiliser un solveur optimisé pour chacune des physiques. Notons que la résolution ségrégée peut être délicate si le couplage est de forte amplitude. Si les deux approches de résolution, simultanée et ségrégée, convergent, on aboutira à la même solution.

Maintenant que nous comprenons mieux comment fonctionne la simulation multiphysique, il est temps de montrer quels bénéfices elle apporte par un exemple. Nous présentons ici la conception de composants de la prochaine génération des smartphones. Il est intéressant de noter que l’association simulation multiphysique-mesures sur prototype est l’approche retenue pour obtenir des résultats pertinents. La simulation multiphysique ne remplace pas l’expérimentation, elle autorise une meilleure compréhension des phénomènes en jeu et favorise une conception optimale des prototypes.

5. Application aux filtres des prochaines générations de smartphones par le CEA-Leti

Les smartphones qui utilisent la 4G et la 5G exploitent jusqu’à 80 bandes de fréquence. Il est bien sûr nécessaire de filtrer les signaux échangés selon ces différentes fréquences. D’une part, pour relever le niveau du signal par rapport au bruit et permettre sa digitalisation ultérieure, d’autre part, pour répondre à des contraintes supplémentaires. L’une d’entre elles est l’utilisation de la même antenne pour l’émission et la réception de signaux électromagnétiques. Une autre contrainte est la répartition d’un même signal sur plusieurs bandes de fréquence. Un téléphone mobile récent comporte ainsi plus de 80 filtres et les projections envisagent une augmentation de ce nombre.

La conception de ces filtres implique de multiples défis, relevés par le CEA-Leti à l’aide de la simulation numérique. Il s’agit tout à la fois d’accroître la bande passante, d’améliorer la qualité du signal, de mieux rejeter les signaux non désirés, de réduire les pertes et la sensibilité à la température et au final de diminuer la taille des composants. La technologie sous-jacente implique la conversion d’un signal électromagnétique en un signal acoustique, afin de situer à la bonne échelle de taille (micro et nanocomposants) et de disposer d’une faible perte à la transmission. Le couplage entre l’électrique (les ondes électromagnétiques) et la mécanique (les ondes acoustiques dans le solide et à sa surface) s’effectue via l’effet piézoélectrique. D’entrée de jeu, les simulations sont donc multiphysiques (fig. 5). Elles impliquent des aspects mécaniques, thermiques et électromagnétiques et les couplages associés, comme l’effet piézoélectrique et le couplage thermique-mécanique par le biais d’un changement des propriétés mécaniques avec la température, dont l’élévation est induite par conversion de l’énergie électrique ou mécanique dissipée sous forme de pertes en chaleur. Il est également nécessaire de considérer le comportement global du système ainsi formé pour l’intégrer dans un dispositif plus complet. Les modèles développés simulent notamment les ondes acoustiques de surface ou de volume, selon le type de composant considéré et le mode de propagation acoustique exploité, et leurs résonances, ce qui permet d’assurer la transmission du signal à cette fréquence précise. Un tel dispositif est constitué de centaines d’électrodes réparties à la surface d’un matériau piézoélectrique pour un composant à ondes acoustiques de surface, ou d’une couche mince, dont l’épaisseur varie entre 500 nm et quelques microns en fonction de la fréquence visée, prise en sandwich entre deux électrodes pour un composant à ondes acoustiques de volume.

La simulation multiphysique autorise une prise en compte progressive des différents effets et couplages. Avec pour résultat une plus grande précision des résultats numériques en comparaison des données de mesure. Toute la difficulté est d’intégrer toutes les variabilités potentielles de la géométrie (comme l’épaisseur des éléments, la position des électrodes) et des propriétés des matériaux nano-structurés avec les performances attendues. La finalité est d’aboutir à des prototypes effectifs déjà pleinement performants et ainsi de réduire le nombre d’itérations nécessaires au développement de nouveaux composants car le rythme annuel de renouvellement des modèles de smartphones nécessite des cycles de développement des nouveaux modèles de filtres extrêmement courts.